如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．

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1. 如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

(3) 抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

【考点】

待定系数法求一次函数解析式; 二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式; 平行线的性质; 等腰三角形的判定; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

(1) 求抛物线的解析式．

(2) 点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

(3) 在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

综合题困难

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，对称轴为 $\text{[math]}$ .

(1) 试用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

(2) 当抛物线过点 $\text{[math]}$ 时，求此抛物线的解析式.

(3) 求当 $\text{[math]}$ 取得最大值时的抛物线的顶点坐标.

综合题普通

3. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上的一动点， $\text{[math]}$ 轴，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交抛物线于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求这个二次函数的表达式；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 仅在线段 $\text{[math]}$ 上运动，如图，求线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值.

综合题普通