如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；沿CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图 ⑥）．

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1. 如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；沿CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图 ⑥）．

(1) 求图 ②中∠BCB′的大小；

(2) 图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．

【考点】

翻折变换（折叠问题）; 解直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 上一点，沿直线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ ，点B落到点F处.

(1) 如图（1），当点P为 $\text{[math]}$ 的中点时，连接 $\text{[math]}$

①求证： $\text{[math]}$ ；

②求 $\text{[math]}$ 的长.

(2) 如图（2），当点P在 $\text{[math]}$ 上移动时，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值，并说明你的理由.

综合题普通

2. 如图，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE的点F处，连结BF.

(1) 求证：BC＝CE；

(2) 设 $\text{[math]}$ ＝k.

①若k＝ $\text{[math]}$ ，求sin∠DCE的值；

②设 $\text{[math]}$ ＝m，试求m与k满足的关系式.

综合题普通

3. 在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作 $\text{[math]}$ 等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，得到折痕 $\text{[math]}$ ，把纸片展开（如图13-1）．

第二步：再一次折叠纸片，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上，并使折痕经过点 $\text{[math]}$ ，得到折痕 $\text{[math]}$ ，同时得到线段 $\text{[math]}$ （如图13-2）．

(1) 猜想论证：
若延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，如图13-3所示，试判定 $\text{[math]}$ 的形状，并证明你的结论．

(2) 拓展探究：
在图13-3中，若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 满足什么关系时，才能在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中剪出符（1）中的等边三角形 $\text{[math]}$ ？

综合题普通