如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．

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1. 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，顶点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求证四边形 $\text{[math]}$ 为菱形；

(3) 如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点（与端点不重合），且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是直角三角形？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

【考点】

勾股定理; 菱形的判定与性质; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 解直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 已知一个矩形纸片 $\text{[math]}$ ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 边上的动点.

(1) 如图①，经过点O、P折叠该纸片，得点 $\text{[math]}$ 和折痕 $\text{[math]}$ .当点P的坐标为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图②，当点P与点C重合时，经过点O、P折叠纸片，使点B落在点 $\text{[math]}$ 的位置， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点M ，求点M的坐标；

(3) 过点P作直线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点Q ，再取 $\text{[math]}$ 中点T ， $\text{[math]}$ 中点N ，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为折痕，依次折叠该纸片，折叠后点O的对应点与点B的对应点恰好重合，且落在线段 $\text{[math]}$ 上，A、C的对应点也恰好重合，也落在线段 $\text{[math]}$ 上，求此时点P的坐标（直接写出结果即可）.

综合题困难

2. 将一个矩形纸片 $\text{[math]}$ 放置在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的一点(点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合)，沿着 $\text{[math]}$ 折叠该纸片，得点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，当点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 的上方， $\text{[math]}$ 与分别与边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

①如图②，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

②当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标(直接写出结果即可)．

综合题普通

3. 如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，使点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG.

(1) 求证：四边形CEFG是菱形.

(2) 若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积.

综合题普通