如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG.

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1. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG.

(1) 写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；

(2) 若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长.

【考点】

正方形的性质; 解直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，
连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B₁处．

(1) 如图1，若点E在线段BC上，求CF的长．

(2) 求sin∠DAB₁的值．

(3) 如果题设中“BE=2CE”改为“ $\text{[math]}$ ”．其他条件都不变，试写出△ABE折叠后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要求写出结论）．

综合题普通

2. 如图，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，已知：∠MAN=30°，AM=AN，△AMN的面积为1．

(1) 求∠BAM的度数；

(2) 求正方形ABCD的边长．

综合题普通

3. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．

(1) 当t=s时，四边形EBFB′为正方形；

(2) 若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；

(3) 是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

综合题普通