已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点.

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1. 已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点.

(1) 如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度；

(2) 如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点.求证：ME⊥AC.

【考点】

勾股定理的应用; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题困难

1. 线段AB在由边长为1的小正方形组成的网格中，端点A、B为格点(即网格线的交点)．

(1) 线段AB的长度为；

(2) 在网格中找出一个格点C ，使得△ABC是以AB为直角边的等腰直角三角形，请画出△ABC；

(3) 在网格中找出一个格点D ，使得△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，请画出△ABD ．

综合题普通

(1) 如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°。得△BCQ，连接PQ.若PA²+PB²=PC² ，证明∠PQC=90°；

(2) 如图②所示，P是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)内的一点，连接PA，PB，PC，将 △BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ.当PQ，PB，PC满足什么条件时∠PQC=90°?请说明.

综合题困难

3. 定义：若一个三角形两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点。

(1) 如图①，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高。若BD=3，CD=4，求高AD的长；

(2) 如图②，在钝角三角形ABC中，∠BAC为钝角，CH是AB边上的高，若BH=AC，求证：△ABC是勾股高三角形；

(3) 如图③，△ABC中，AB=AC=2(其中BC<2)，若△ABC为勾股高三角形，求cosA的值。

综合题普通