如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点.

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1. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点O为对角线 $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 问题解决：如图①，连接 $\text{[math]}$ ，分别取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点P，Q，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是，位置关系是；

(2) 问题探究：如图②， $\text{[math]}$ 是将图①中的 $\text{[math]}$ 绕点A按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到的三角形，连接 $\text{[math]}$ ，点P，Q分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .判断 $\text{[math]}$ 的形状，并证明你的结论；

(3) 拓展延伸：如图③， $\text{[math]}$ 是将图①中的 $\text{[math]}$ 绕点A按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到的三角形，连接 $\text{[math]}$ ，点P，Q分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为1，求 $\text{[math]}$ 的面积.

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 旋转的性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. △ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2，

(1) 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．

(2) 图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s₁；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s₂（如图2），则s₂=；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s₃ ，继续操作下去…，则第10次剪取时，s₁₀=；

(3) 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．

综合题普通

2. 如图①，将边长为2的正方形OABC如图①放置，O为原点．

（Ⅰ）若将正方形OABC绕点O逆时针旋转60°时，如图②，求点A的坐标；

（Ⅱ）如图③，若将图①中的正方形OABC绕点O逆时针旋转75°时，求点B的坐标．

综合题普通

3. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在射线 $\text{[math]}$ 上（不与点B、C重合），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点E逆时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，点E在 $\text{[math]}$ 边上．

①依题意补全图1；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，点E在 $\text{[math]}$ 边的延长线上，用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

综合题普通