在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、，交y轴于点N，点M抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．

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1. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，交y轴于点N，点M抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，连接 $\text{[math]}$ ，点E是线段 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一动点， $\text{[math]}$ 于点F；过点E作 $\text{[math]}$ 轴于点H，交 $\text{[math]}$ 于点D.点P是y轴上一动点，当 $\text{[math]}$ 取最大值时．

①求 $\text{[math]}$ 的最小值；

②如图2，Q点是y轴上一动点，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，直线l：y=x﹣ $\text{[math]}$ 与x轴正半轴、y轴负半轴分别相交于A、C两点，抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C．

(1) 填空：直接写出抛物线的解析式：；

(2) 已知点Q是抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c在第四象限内的一个动点．

①如图，连接AQ、CQ，设点Q的横坐标为t，△AQC的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；

②连接BQ交AC于点D，连接BC，以BD为直径作⊙I，分别交BC、AB于点E、F，连接EF，求线段EF的最小值，并直接写出此时Q点的坐标．

综合题困难

2. 如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax²+bx+c经过O、C、D三点．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

综合题困难

3. 已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）．

(1) 求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2) 如图甲，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；

(3) 如图乙，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动，设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．

综合题普通