若二次函数的图像与x轴有两个交点，且经过点过点A的直线l与x轴交于点与该函数的图象交于点B（异于点A）.满足是等腰直角三角形，记的面积为的面积为，且 .

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1. 若二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴有两个交点 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ 过点A的直线l与x轴交于点 $\text{[math]}$ 与该函数的图象交于点B（异于点A）.满足 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 抛物线的开口方向（填“上”或“下”）；

(2) 求直线 $\text{[math]}$ 相应的函数表达式；

(3) 求该二次函数的表达式.

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 等腰直角三角形; 二次函数与一次函数的综合应用;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 抛物线上是否存在点P，使 $\text{[math]}$ ，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点B．

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 点P是抛物线上的动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点M，以 $\text{[math]}$ 为斜边作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，当点N恰好落在y轴上时，求点P的坐标．

综合题普通

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为抛物线的顶点， $\text{[math]}$ 为抛物线上不与 $\text{[math]}$ 重合的相异两点，记 $\text{[math]}$ 中点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 三点共线；

(3) 小明研究发现：无论 $\text{[math]}$ 在抛物线上如何运动，只要 $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．

综合题困难