定义：平面直角坐标系中有点，若点满足且，则称是的“界密点”．

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1. 定义：平面直角坐标系中有点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 界密点”．

(1) ①点 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 界密点”所组成的图形面积是；

②反比例函数 $\text{[math]}$ 图象上（填“存在”或者“不存在”）点 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 界密点”．

(2) 直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，在其图像上，点 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 界密点”组成的线段长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 关于 $\text{[math]}$ 的二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数），将它的图象 $\text{[math]}$ 绕原点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得曲线 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 上都存在 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 界密点”，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 定义新运算;

【答案】

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综合题困难

1. 某学习小组开展了图形旋转的探究活动：将一个矩形 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到矩形 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 延长线上．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图2，连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M．观察思考线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 数量关系并说明理由．

(3) 在（2）的条件下，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N（如图3），若 $\text{[math]}$ ，旋转角 $\text{[math]}$ 等于多少度时 $\text{[math]}$ 是等边三角形，请写出 $\text{[math]}$ 的值，并说明 $\text{[math]}$ 是等边三角形的理由．

综合题困难

2. 如图，在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ， AC＝BC，D为斜边AB上一动点（不与端点A，B重合），以C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接AE，BE，F为AE的中点．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 用等式表示线段CD，BE，CF三者之间数量关系，并说明理由；

(3) 若CF＝ $\text{[math]}$ ， CD＝ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

3. △ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别是AC，BC的中点，点P是直线DE上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，连接AM，CM．

(1) 问题发现：如图（1），当点P与点D重合时，线段CM与PE的数量关系是，∠ACM＝．

(2) 探究证明：当点P在射线ED上运动时（不与点E重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明．

综合题普通