如图，在等边△ABC中， D ， E ， F分别为边AB ， BC ， CA上的点，且满足∠DEF=60°．

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1. 如图，在等边△ABC中， D ， E ， F分别为边AB ， BC ， CA上的点，且满足∠DEF=60°．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若DE⊥BC且DE=EF ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

等边三角形的性质; 含30°角的直角三角形; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 定义：在一个三角形中，若存在两条边x和y，使得 $\text{[math]}$ ，则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边.

(1) “若等边三角形为平方三角形，则面积为 $\text{[math]}$ ”是命题；“有一个角为30°且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是命题；（填“真”或“假”）

(2) 如图，在△ABC中，D是BC上一点，若∠CAD=∠B，CD=1，求证：△ABC为平方三角形；

(3) 若a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a=2，若三角形中存在一个角为60°，求c的值.

综合题困难

2. 如图，已知点C、D在线段AB上，且AC=4，BD=9，△PCD是边长为6的等边三角形．

(1) 求证：△PAC∽△BPD；

(2) 求∠APB的度数．

综合题普通

3. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC=120°．

(1) 求证：△ABD∽△DCE；

(2) 若CD=12，CE=3，求△ABC的周长．

综合题普通