如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点．

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 切线的判定; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 三角形的中位线定理;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E ，连接AC、BD交于点F ，作AH⊥CE ，垂足为点H ，已知∠ADE＝∠ACB ．

(1) 求证：AH是⊙O的切线；

(2) 若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；

(3) 若 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，求证：CD＝DH ．

综合题困难

2. 如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD，CE⊥AD于点E．

(1) 求证：直线EC为圆O的切线；

(2) 设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求sin∠PEF的值．

综合题困难

3. 如图，以AB为直径的半圆O交AC于点D，且点D为AC的中点，DE⊥BC于点E，AE交半圆O于点F，BF的延长线交DE于点G．

(1) 求证：DE为半圆O的切线；

(2) 若GE=1，BF= $\text{[math]}$ ，求EF的长．

综合题普通