如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

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1. 如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax²﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

(1) 求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；

(2) 求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

(3) 点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 $\text{[math]}$ ，求a的值；

(4) 设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【考点】

二次函数图象与坐标轴的交点问题; 矩形的性质; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题; 几何图形的面积计算-割补法;

【答案】

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综合题困难

1. 如图（1），抛物线y=x²﹣2x+k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

(1) k=，点A的坐标为，点B的坐标为；

(2) 设抛物线y=x²﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

(3) 在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

(4) 在抛物线y=x²﹣2x+k上求出点Q坐标，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

综合题困难

2. 综合与探究

如图，二次函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，并且交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 请直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点的坐标及直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线在第一象限内交于点 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．

综合题困难

3. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求点A，B，C，D的坐标：

(2) 如图1，直线DC交x轴于点E，若 $\text{[math]}$ ，求m的值及直线DE的表达式；

(3) 如图2，在（2）的条件下，若点F为OC的中点，连接AF，动点P在第二象限的抛物线上运动，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，交AF于点G，过点G作GM⊥DE于点M，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

综合题困难