在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．

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1. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求点A，B，C，D的坐标：

(2) 如图1，直线DC交x轴于点E，若 $\text{[math]}$ ，求m的值及直线DE的表达式；

(3) 如图2，在（2）的条件下，若点F为OC的中点，连接AF，动点P在第二象限的抛物线上运动，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，交AF于点G，过点G作GM⊥DE于点M，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

二次函数图象与坐标轴的交点问题; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 综合与探究

如图，二次函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，并且交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 请直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点的坐标及直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线在第一象限内交于点 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．

综合题困难

2. 平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式，并直接写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 在抛物线的对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是直角三角形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3) 如图，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ 最小，若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

综合题困难

3. 抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A ， B两点（A在B的左边）交y轴于点C ，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m ．

图1 图2

(1) 直接写出A ， B ， C三点的坐标；

(2) 如图1，若点P在第一象限内抛物线上运动，当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；

(3) 如图2，点N是经过点B的直线 $\text{[math]}$ 上一点，直线 $\text{[math]}$ 轴，交直线BC于点M ，过点P作直线 $\text{[math]}$ 轴，交直线BC于点Q ．

①当 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值；

②记线段 $\text{[math]}$ 的长度为l ，当 $\text{[math]}$ 时，求m的取值范围．

综合题困难