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1.

(1) （问题情境）如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 中点，连结 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 上一点，过点E且垂直于 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 于点F．易知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为．

(2) （探索发现）如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 中点，连结 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 的延长线上一点，过点E且垂直于 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．

（问题情境）中的结论还成立吗？请说明理由．

(3) （类比迁移）如图③，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 中点，点E是射线 $\text{[math]}$ 上一点（不与点A、C重合），将射线 $\text{[math]}$ 绕点D逆时针旋转 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 在 $\text{[math]}$ 中与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 观察猜想

如图1，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是，位置关系是；

(2) 类比探究

当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由.

(3) 问题解决
在 $\text{[math]}$ 旋转过程中，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积的最大值与最小值.

综合题困难

2. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中，∠C＝90°，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ．延长ED分别交CB于点F，交AB于点G，连接AF．

(1) ∠CAF＝°，∠EAG＝°；

(2) 若BC＝（ $\text{[math]}$ +1）AC，则①∠DAG＝ ▲ °；② $\text{[math]}$ ＝ ▲ ，请证明你的结论；

(3) 如图2，若改变旋转角，已知AC＝3，BC＝4，当∠EAF＝90°时，求 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题困难

3. 在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．

(1) 观察猜想

如图1，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．

(2) 类比探究

如图2，当 $\text{[math]}$ 时，请写出 $\text{[math]}$ 的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．

(3) 解决问题

当 $\text{[math]}$ 时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难