如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=48，点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

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1. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=48，点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

(1) 求证：AE=DF；

(2) 当四边形BFDE是矩形时，求t的值；

(3) 四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

【考点】

含30°角的直角三角形; 菱形的判定; 矩形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P从点B出发沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时点Q从点A出发沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作 $\text{[math]}$ 于点M，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 请用含有t的式子填空：

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 是否存在某一时刻使四边形 $\text{[math]}$ 为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．

(3) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 为直角三角形？请说明理由．

综合题普通

2. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长交BC于点F，连接AF、CE，EF平分∠AEC．

(1) 求证：四边形AFCE是菱形．

(2) 若∠DAC=60°，EF=4 $\text{[math]}$ ，求四边形AFCE的面积．

综合题普通

3. 如图，在直角△ $\text{[math]}$ 中，点D，E，F分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 为矩形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求出矩形 $\text{[math]}$ 的周长．

综合题普通