如图，已知线段，点P是线段AB上的一个动点，在AB同侧分别作等边和等边．连接AD、BC，相交于点M．

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1. 如图，已知线段 $\text{[math]}$ ，点P是线段AB上的一个动点，在AB同侧分别作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ．连接AD、BC，相交于点M．

(1) 求证 $\text{[math]}$ ；

(2) 求点M到AB的最大距离；

(3) 已知点M是 $\text{[math]}$ 的内心，若点N的运动路线的长度称为点N的路径长，求点N的路径长．

【考点】

三角形全等的判定; 等边三角形的性质; 含30°角的直角三角形; 相似三角形的判定与性质; 三角形的中位线定理;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE=CD，EP∥AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP=∠ACB．

(1) 图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；

(2) 若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）．当∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2时，求线段PE的长．

综合题普通

2. 定义：在一个三角形中，若存在两条边x和y，使得 $\text{[math]}$ ，则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边.

(1) “若等边三角形为平方三角形，则面积为 $\text{[math]}$ ”是命题；“有一个角为30°且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是命题；（填“真”或“假”）

(2) 如图，在△ABC中，D是BC上一点，若∠CAD=∠B，CD=1，求证：△ABC为平方三角形；

(3) 若a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a=2，若三角形中存在一个角为60°，求c的值.

综合题困难

3. 如图，在等边△ABC中， D ， E ， F分别为边AB ， BC ， CA上的点，且满足∠DEF=60°．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若DE⊥BC且DE=EF ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通