如图，已知抛物线y=﹣ +bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．

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1. 如图，已知抛物线y=﹣ $\text{[math]}$ +bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．

①求证：四边形DECF是矩形；

②试探究：在点D运动过程中，DE、DF、CF的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值，若变化，试说明变化情况．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3）.

(1) 求该抛物线的表达式；

(2) 过点B作x轴的垂线，在该垂线上取一点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P的坐标.

综合题普通

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线L与x轴交于 $\text{[math]}$ 两点，且经过点 $\text{[math]}$ ，抛物线的顶点D的坐标为 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线L的函数表达式；

(2) 如图1，点E为第四象限抛物线L上一动点，过点E作 $\text{[math]}$ 于点G，求 $\text{[math]}$ 的最大值，及此时点E的坐标；

(3) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，过点O作直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别为直线l和抛物线L上的点.试探究：在第一象限是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ .若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

综合题困难

3. 如图，在直角坐标系中，已知直线y=﹣ $\text{[math]}$ x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点的坐标为（﹣2，0）．

(1) 求证：直线AB⊥AC；

(2) 求经过A，B，C三点的抛物线l的解析式和对称轴；

(3) 在直线AB上方的抛物线l上，是否存在一点P，使直线AB平分∠PBC？

若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难