在实际问题中，在大多数情况下，造桥和架线都尽可能减少弯路，是因为．

填空题容易

2. 如图， $\text{[math]}$ ，点M、N分别在射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为12，P是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，点P关于 $\text{[math]}$ 对称的点为 $\text{[math]}$ ，点P关于 $\text{[math]}$ 对称的点为 $\text{[math]}$ ，当点P在直线 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 的面积最小值为．

填空题容易

3. 如图，从学校A到书店B有两条路线，①号路线是 $\text{[math]}$ ， ②号路线是 $\text{[math]}$ .小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是．

填空题容易

1. 如图，P为∠AOB内一定点，∠AOB=45°，M、N分别是射线OA、OB上任意一点，当△PMN周长的最小值为10时，则O、P两点间的距离为．

填空题困难

2. 如图，从公园甲到公园乙的三条路线中，最短的是，这是因为．

填空题普通

3. 将弯曲的河道改直，可以缩短航程，是因为：两点之间最短

填空题普通

1. 如图，已知点A，B在直线l两侧，在直线l上找一点，使得该点到点A与点B的距离之和最小，则这个点是（）

A. M B. N C. P D. Q

单选题普通

2. 毛泽东主席在《水调歌头·游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．例如山西临猗黄河大桥是山西省西南部通往陕西省渭南、铜川等地的重要运输通道．建成后，运城市至陕西省铜川市的通车时间从4小时缩短至2.5小时，极大地缩短了两地之间的交通时间．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（）

A. 过一点可以画多条直线 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间线段最短 D. 连接两点间线段的长度是两点间的距离

单选题容易

3. 如图，在A、B两个营地之间有一条河(假定河岸是平行的直线)．如何在河上架一座与河岸垂直的桥，并从A、B分别修路到桥，使得路的总长最短?

解答题困难

1.

(1) 【问题情境】

如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转 $\text{[math]}$ （如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 ▲ 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略：

(2) 【操作实践】

如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边 $\text{[math]}$ 之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽像成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点 $\text{[math]}$ 为端点的四条线段之间的数量关系；

(3) 【探究应用】

如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，他发现旋转过程中 $\text{[math]}$ 存在最大值．若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，求AD的长；

(4) 如图6，在RtABC中， $\text{[math]}$ ，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

实践探究题困难

2.

(1) 初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；

(2) 结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；

(3) 拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．

实践探究题困难

3. 问题探究

将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．

问题提出：如图1， $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形，P为 $\text{[math]}$ 内部一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．

问题解决：如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，易知 $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ ，可知 $\text{[math]}$ 为正三角形，有 $\text{[math]}$ ．