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1. 下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．

已知： 中， ．

求作： ，使得 ．

作法：如图，

①分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于 、 点，作直线 ；

②分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于 、 点，作直线 ， 和 交于点 ；

③连接 和 ；

④以点 为圆心， 的长为半径作 ．

所以 ．

根据小菲设计的尺规作图过程．

(1) 使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明：连接

∵ 和 分别为 、 的垂直平分线，

∴ ．

∴ 是 的外接圆．

∵点 是 上的一点，

∴ ．（）．（填推理的依据）
【考点】
圆周角定理; 尺规作图-垂直平分线;
【答案】

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综合题 普通
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1. 如图①，若点P是△ABC内或边上一点，且∠BPC=2∠A，则称点P是△ABC内∠A的二倍角点．请用直尺和圆规对图②、图③作出符合要求的点（保留作图痕迹，不写作法．）


(1) 如图②，在△ABC内求作一点Q，使点Q是△ABC内∠A的一个二倍角点；
(2) 如图③，在△ABC外求作一点M，使点A是△MBC内∠M的一个二倍角点．
综合题 普通
2. 下面是小景设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l和l外一点A ，

求作：直线 ，使得 于点E ．

作法：①在直线l上取一点B ， 连接 （如图2）；

②作线段 的垂直平分线 ，交 于点O；

③以O为圆心， 长为半径作圆，交直线l于点E；

④作直线 ．

所以直线 即为所求作的直线．

(1) 使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2) 完成下面的证明．

证明： 为线段 的垂直平分线，

．

是 的直径，

（）（填推理的依据）．

．
综合题 普通
3. 已知：如图，点M为锐角∠APB 的边PA上一点．

求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．

作法：

①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；

②作射线MD．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2) 完成下面的证明．

证明：∵P、C、D都在⊙M 上，

∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，

∴∠P＝∠CMD（   ）（填推理依据）．

∴∠AMD＝2∠P．
综合题 普通