定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在与中，，且所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为，连接，则称会为“关联比"．下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题： [特例感知]

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1. 定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 所以称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 会为“关联比"．

下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：

[特例感知]

(1) 当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为“关联等腰三角形”，且 $\text{[math]}$ 时，

①在图1中，若点E落在 $\text{[math]}$ 上，则“关联比” $\text{[math]}$ = ▲

②在图2中，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系，并求出“关联比” $\text{[math]}$ 的值．

(2) [类比探究]

如图3，

①当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为“关联等腰三角形”，且 $\text{[math]}$ 时，“关联比” $\text{[math]}$ =

②猜想：当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为“关联等腰三角形”，且 $\text{[math]}$ 时，“关联比” $\text{[math]}$ = (直接写出结果，用含 $\text{[math]}$ 的式子表示)

(3) [迁移运用]

如图4， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为“关联等腰三角形”．若 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，且 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 上一动点，求点E自点B运动至点P时，点D所经过的路径长．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 等腰直角三角形;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合应用：测旗杆高度

小明和小红是学校的升旗手，两人想一同测出学校旗杆的高度．为了解决这个问题，他们向数学王老师请教，王老师给他们提供了测倾器和皮尺工具．经过两人的思考，他们决定利用如下的图示进行测量．

【测量图示】

【测量方法】在阳光下，小红站在旗杆影子的顶端F处，此刻量出小红的影长FG；然后小明在旗杆落在地面的影子上的某点D处，安装测倾器CD ，测出旗杆顶端A的仰角．

【测量数据】小红影长 $\text{[math]}$ m，身高 $\text{[math]}$ m，旗杆顶端A的仰角为 $\text{[math]}$ ，侧倾器CD高 $\text{[math]}$ m， $\text{[math]}$ m，旗台高 $\text{[math]}$ m．

若已知点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG ．你能帮小明和小红两人测出旗杆AP的高度吗?（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

实践探究题普通

2. 【问题背景】
在一次数学实践活动中，张老师将班级学生分成“扶摇”、“惊鸿”、“骐骥”三个小组，运用直角三角尺测量三个不同直尺的宽度 $\text{[math]}$ 直尺的每两个长刻度之间的长度是 $\text{[math]}$

【实践探究】

(1) 扶摇组同学用含 $\text{[math]}$ 的三角尺，提出按照图 $\text{[math]}$ 的方案，直尺与直角三角尺 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 重合，另一边分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的读数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该直尺的宽度 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ；

(2) 惊鸿组同学用含 $\text{[math]}$ 的三角尺，提出按照图 $\text{[math]}$ 的方案，直尺与直角三角尺 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 重合，另一边分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的读数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求该直尺的宽度；

(3) 骐骥组同学用含 $\text{[math]}$ 的三角尺，提出按照图 $\text{[math]}$ 的方案，直尺与直角三角尺 $\text{[math]}$ 斜 $\text{[math]}$ 平行，直分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的读数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出该直尺的宽度 $\text{[math]}$ 结果精确到 $\text{[math]}$ 参考数据： $\text{[math]}$

实践探究题普通

3. 【问题情境】如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点D在边 $\text{[math]}$ 上将线段 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转得到线段 $\text{[math]}$ （旋转角小于 $\text{[math]}$ ），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为底边在其上方作等腰三角形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 【尝试探究】

如图1，当 $\text{[math]}$ 时，易知 $\text{[math]}$ ；

如图2，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；

(2) 如图3，写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；

(3) 【拓展应用】

如图4，当 $\text{[math]}$ ，且点B ， E ， F三点共线时．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难