定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形. 下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示. 操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH. 操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD.则四边形ABCD为矩形.

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1. 定义：长宽比为 $\text{[math]}$ ：1（n为正整数）的矩形称为 $\text{[math]}$ 矩形.

下面，我们通过折叠的方式折出一个 $\text{[math]}$ 矩形，如图a所示.

操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH.

操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD.则四边形ABCD为 $\text{[math]}$ 矩形.

(1) 证明：四边形ABCD为 $\text{[math]}$ 矩形；

(2) 点M是边AB上一动点.

①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN.求tan∠OMN的值；

②若AM=AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求 $\text{[math]}$ 的值；

③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R.若AB=2 $\text{[math]}$ ，则DR的最小值= .

【考点】

正方形的性质; 轴对称的应用-最短距离问题; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图3，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，探索 $\text{[math]}$ 的形状，并加以证明．

综合题困难

2. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE ，过顶点B作BF⊥DE ，垂足为F ， BF交边DC于点G ．

(1) 求证：DG•BC＝DF•BG；

(2) 连接CF ，求∠CFB的大小；

(3) 作点C关于直线DE的对称点H ，连接CH ， FH ．猜想线段DF ， BF ， CH之间的数量关系并加以证明．

综合题普通

3. 如图1，在边长为1的正方形ABCD中，动点E，F分别在边AB，CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x.

(1) 当AM＝ $\text{[math]}$ 时，求x的值；

(2) 如图2，连接BM、过B点作BH⊥MN，垂足为H，求证：BM是∠ABH的角平分线；

(3) 随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

(4) 设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.

综合题普通