如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F在BD的延长线上，且AB = AC.

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1. 如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F在BD的延长线上，且AB = AC.

(1) 求证：DE平分∠CDF；

(2) 若AC = 3 cm，AD = 2 cm，求DE的长.

【考点】

圆的综合题;

【答案】

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综合题普通

1. 如图， $\text{[math]}$ 为⊙O的直径， $\text{[math]}$ 在⊙O上，且 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是⊙O的切线；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，探究线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并给予证明；

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径

综合题普通

2. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．

(1) 求证：EF是⊙O的切线；

(2) 若∠C=60°，AC=12，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 若tanC=2，AE=8，求BF的长．

综合题困难

(1) 知识储备

①如图 1，已知点 P 为等边△ABC 外接圆的弧BC 上任意一点．求证：PB+PC= PA.

②定义：在△ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 P 为△ABC的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离．

(2) 知识迁移

①我们有如下探寻△ABC (其中∠A，∠B，∠C 均小于 120°)的费马点和费马距离的方法：

如图 2，在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段的长度即为△ABC 的费马距离.

②在图 3 中，用不同于图 2 的方法作出△ABC 的费马点 P(要求尺规作图).

(3) 知识应用

①判断题：

ⅰ.任意三角形的费马点有且只有一个（）；

ⅱ.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（）.

②已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为 $\text{[math]}$ ，求正方形 ABCD 的边长．

综合题普通