如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上.

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1. 如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点， $\text{[math]}$ ，点M、N分别在直线BC、DC上.

(1) 如图1，当Q为线段OD的中点时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为；

(3) 在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求EF的长.

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 实践与探究

情境：在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且 $\text{[math]}$ ，过点F作EF⊥AC，交CD于点E，连接AE，AF．

(1) 问题发现

图（1）中，线段AE与BF的数量关系是；

直线AE与直线BF的夹角的度数是．

(2) 问题拓展

当△CEF绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，说明理由．

(3) 问题延伸

在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，直接写出AE的长．

综合题困难

2. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．

(1) 猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；

(2) 过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．

综合题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的对角线，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内， $\text{[math]}$ .

(1) 当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；

(2) 如图①，当四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为正方形时，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

(3) 如图②，当四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为矩形，且 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难