如图，在中，，为边上的点，将绕逆时针旋转得到 .

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的点，将 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ .

①求证： $\text{[math]}$ ；

②直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为 ▲ ；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上任意一点，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是否满足（1）中②的关系，请给出结论并证明.

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题困难

1. 已知：△ABC和△ADE按如图所示方式放置，点D在△ABC内，连接BD、CD和CE，且∠DCE＝90°．

(1) 如图①，当△ABC和△ADE均为等边三角形时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；

(2) 如图②，当BA＝BC＝2AC，DA＝DE＝2AE时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由；

(3) 如图③，当AB：BC：AC＝AD：DE：AE＝m：n：p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系．

综合题普通

2. 如图①，在矩形ABCD中，AB= $\text{[math]}$ ，AD=3，点E是边AD靠近A的三等分点，点P是BC延长线上一点，且EP⊥EB，点G是BE上任意一点，过G作GH∥BP，交EP于点H．将△EGH绕点E逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别是G、H的对应点）．

(1) 求BP的长；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图②当α=60°时，点M恰好落在GH上，延长BM交NP于点Q，取EP的中点K，连接QK．若点G在线段EB上运动，问QK是否有最小值？若有最小值，请求出点G运动到EB的什么位置时，QK有最小值及最小值是多少，若没有最小值，请说明理由．

综合题普通

3. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D，E分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为α.

(1) 问题发现

①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

(2) 拓展探究

试判断：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

(3) 问题解决

当 $\text{[math]}$ 旋转至 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难