从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这个三角形称为准黄金三角形.

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1. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这个三角形称为准黄金三角形.

(1) 请判断：含30°角的直角三角形（填“是”或“不是”）准黄金三角形；

(2) 如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：△ABC是准黄金三角形；

(3) 如图2，△ABC是准黄金三角形，AC＝3，BC＝ $\text{[math]}$ ，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CD的长.

【考点】

三角形内角和定理; 等腰三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．

例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．

(1) 【定义感知】

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ AB=BD．求证：AD是 $\text{[math]}$ 的“华丽分割线”．

(2) 【问题解决】

①如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， AD是 $\text{[math]}$ 的“华丽分割线”，且 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，则 $\text{[math]}$ 的度数是 ▲ ；

②如图3，在 $\text{[math]}$ 中，AB=2，AC= $\text{[math]}$ ， AD是 $\text{[math]}$ 的“华丽分割线”，且 $\text{[math]}$ 是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长．

综合题困难

如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC²=AB•AD．我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB称为“可分角”．

(1) 如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求证：四边形ABCD为“可分四边形”；

(2) 如图3，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB=∠DAB，则求∠DAB的度数；

(3) 现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC=4，则△DAB的最大面积等于．

综合题困难

3. 如图，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆，连接 $\text{[math]}$ 并延长交边 $\text{[math]}$ 于点D，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，过点A作边 $\text{[math]}$ 的平行线，交 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F．请画出相应的图形，并证明： $\text{[math]}$ ．

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