如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G.

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1. 如图1，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直径， $\text{[math]}$ 上存在点E，满足 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点G.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表列 $\text{[math]}$ .

(2) 如图2，连结 $\text{[math]}$ .求证； $\text{[math]}$ .

(3) 如图3，在（2）的条件下，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长.

②求 $\text{[math]}$ 的最小值.

【考点】

勾股定理; 圆的综合题; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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综合题困难

(1) 在图①中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图②，用边长为 $\text{[math]}$ 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 $\text{[math]}$ 得折痕 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 折叠到 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 对应点 $\text{[math]}$ ，得折痕 $\text{[math]}$ .试说明： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的黄金分割点；

(3) 如图③，小明进一步探究：在边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上任取点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .他发现当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足某种关系时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 恰好分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.

(4) 我们知道：如图①，点 $\text{[math]}$ 把线段 $\text{[math]}$ 分成两部分，如果 $\text{[math]}$ ，那么称点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点.它们的比值为.

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2. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，如图1，求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，如图2．

①求证： $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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3. 已知，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点D，点M是射线 $\text{[math]}$ 上一动点（不与C、D重合），连结 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 下方作 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图，当点M在线段 $\text{[math]}$ 上时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图， $\text{[math]}$ ，当点M在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时， $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点E．

①试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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