下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l和直线l外一点P．求作：直线，使直线直线l．作法：如图2， ①在直线l上取一点A，连接； ②作的垂直平分线，分别交直线l，线段于点B，O； ③以O为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点Q； ④作直线，所以直线为所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：

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1. 下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l和直线l外一点P．

求作：直线 $\text{[math]}$ ，使直线 $\text{[math]}$ 直线l．

作法：如图2，

①在直线l上取一点A，连接 $\text{[math]}$ ；

②作 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ，分别交直线l，线段 $\text{[math]}$ 于点B，O；

③以O为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，交直线 $\text{[math]}$ 于另一点Q；

④作直线 $\text{[math]}$ ，所以直线 $\text{[math]}$ 为所求作的直线．

根据上述作图过程，回答问题：

(1) 用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明：

证明：∵直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，

∴ ▲ ＝ ▲ ， $\text{[math]}$ ．

∵ ▲ ＝ ▲ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

∴ ▲ ＝ ▲ ．

∴ $\text{[math]}$ （ ▲ ）（填推理的依据）．

【考点】

线段垂直平分线的性质; 尺规作图的概念;

【答案】

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综合题普通

1. 下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程．

已知：∠AOB

求作：∠ADC ，使∠ADC＝2∠AOB

作法：如图，

①在射线OB上任取一点C；

②作线段OC的垂直平分线，交OA于点D ，交OB于点E ，连接DC ．

所以∠ADC即为所求的角

根据小明设计的尺规作图过程，

(1) 使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）

(2) 完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）

证明：∵DE是线段OC的垂直平分线，

∴OD＝ ▲ （ ▲ ）．

∴∠AOB＝ ▲ （ ▲ ）．

∵∠ADC＝∠AOB＋∠DCO ，

∴∠ADC＝2∠AOB ．

综合题普通

2. 如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1) 概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

(2) 性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．

猜想结论：（要求用文字语言叙述） $\text{[math]}$

写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

(3) 问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．

综合题困难

3. 如图，在△ABC中，AB=AC，请按要求解答问题.

(1) 作线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2) 在（1）的基础上，若AC-BC=2，△BCE的周长为8，求AB与BC的长.

综合题普通