已知：在正方形ABCD中，点E、F、G分别在BC、AB和CD上，FG⊥ED ，垂足为点H ．

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1. 已知：在正方形ABCD中，点E、F、G分别在BC、AB和CD上，FG⊥ED ，垂足为点H ．

(1) 如图1，点G与点C重合，求证： FG=ED；

(2) 如图2，点G与点C不重合，延长FG交BC的延长线于点M ，若H为FM的中点，求证：AF=CM；

(3) 如图3，在（2）的条件下，取AD的中点N ，连接HN ，若BF=2AF ， HN= $\text{[math]}$ ，求EM的长．

【考点】

正方形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．

(1) 求证：GD•AB=DF•BG；

(2) 联结CF，求证：∠CFB=45°．

综合题普通

2. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，P、Q分别从B、A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1 cm/秒，Q点的运动速度是2 cm/秒。连接AP并过Q作QE⊥AP垂足为E。

(1) 求证：△ABP∽△QEA ；

(2) 当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；

(3) 设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y。（不要求考虑t的取值范围）

（提示：解答（2）（3）时可不分先后）

综合题普通

(1) （问题情境）

射影定理：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，垂足为D，那么有① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；请你证明射影定理中的结论③即 $\text{[math]}$ .

(2) （结论运用：请直接使用射影定理解决下列问题）

如图2，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为6，点O是对角线 $\text{[math]}$ 的交点，点E在 $\text{[math]}$ 上，过点C作 $\text{[math]}$ ，垂足为F，连接 $\text{[math]}$ ，

①求证： $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题普通