如图，等边三角形的外部有一点P，且，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接 .

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1. 如图，等边三角形 $\text{[math]}$ 的外部有一点P，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转60°得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求P，C两点之间的距离.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在边 $\text{[math]}$ 上（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），且 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.

综合题普通

2. 已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段BD；连接CP，DP，AD，取AD中点M，连接BM，BC．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，

①如图1，若点P为AB中点，直接写出∠CBM的度数为，线段BC与BM的数量关系为．

②如图2，若点P不为AB中点时，请探究线段BC与BM的数量关系，并说明理由．

(2) 如图3，若PA＝PB＝2，当∠CPB＝105°时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.

(1) 如图1，当点P在线段BC上时，试猜想写出线段CP与BQ的数量关系，并证明你的猜想；

(2) 如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？（直接写“成立”或“不成立”即可，不需证明）.

综合题普通