如图，边长为6的正方形中，E是的中点，将绕点A顺时针旋转得到，G是上一点，且，连接．

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1. 如图，边长为6的正方形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，G是 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

(2) 求点C到 $\text{[math]}$ 的距离．

【考点】

勾股定理; 正方形的性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题普通

1. 如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．

(1) 试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；

(2) 将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；

(3) 若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

综合题普通

2. 小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为 $\text{[math]}$ 的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转， $\text{[math]}$ 的两边分别与正方形的边BC、DC或其延长线相交于点E、F，连结EF.

(1) （探究发现）

在三角板旋转过程中，当 $\text{[math]}$ 的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图 $\text{[math]}$ 所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系：.

(2) （拓展思考）

在三角板旋转过程中，当 $\text{[math]}$ 的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图 $\text{[math]}$ 所示，则线段BE、DF、EF又将满足怎样的数量关系：▲ ，并证明你的结论；

(3) （创新应用）

若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当 $\text{[math]}$ 的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长.

综合题困难

3. 如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A，点B在线段DG上，

(1) 求证： △ADG= △ ABE

(2) 判断DG与BE的位置关系，并说明理由；

(3) 若正方形ABCD的边长为2，正方形AEFG的边长为2 $\text{[math]}$ ，求BE的长.

综合题普通