问题背景：如图1，在矩形中，，，点E是边AB的中点，过点作交BD于点F．

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1. 问题背景：

如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是边AB的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交BD于点F．

(1) 实验探究：

在一次数学活动中，小王同学将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，如图2所示，得到结论：① $\text{[math]}$ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．

(2) 小王同学继续将 $\text{[math]}$ 绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

(3) 拓展延伸：

在以上探究中，当 $\text{[math]}$ 旋转至 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线时，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

【考点】

三角形的面积; 含30°角的直角三角形; 矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，在矩形ABCD中，E，F，G分别为边BC，AB，AD的中点，连接DF，EF，H为DF的中点，连接GH，将△BEF绕点B旋转．

(1) 当△BEF旋转到如图2所示位置，且AB＝BC时，猜想GH与CE之间的关系，并证明你的猜想．

(2) 已知AB＝6，BC＝8，

①当△BEF旋转到如图3所示位置时，猜想GH与CE之间的数量关系，并说明理由．

②射线GH，CE相交于点Q，连接BQ，在△BEF旋转过程中，BQ有最小值，请直接写出BQ的最小值．

综合题困难

(1) 动手操作：如图1，将一张长方形的纸对折两次，然后沿45°的方向剪下一个角，打开，剪出的是一个形．再利用图形的“旋转”开展数学探究活动，体会图形在旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想方法；

(2) 问题探究：如图2，由“动手操作”所得的四边形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，把一个与它全等的四边形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3) 拓展迁移：如图3，矩形 $\text{[math]}$ 的对角线交点为 $\text{[math]}$ ，直角 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数），探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

综合题困难

3. 在如图平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE ， OD与CB相交于点F ，反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的图象经过点F ，交AB于点G ．

(1) 求k的值和点G的坐标；

(2) 连接FG ，则图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；

(3) 在线段OA上存在这样的点P ，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标．

综合题困难