如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.

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1. 如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.

(1) 若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；

(2) 在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym² ，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

【考点】

二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题普通

1. 已知抛物线y= $\text{[math]}$ x²-6x+1(其中a为常数，日a≠0) ．

(1) 当a=1时，抛物线的顶点坐标为

(2) 当-3≤x≤1时，若函数值y随x的增大而减小，求a的取值范围；

(3) 当x≤a时，若函数y= $\text{[math]}$ x²-6x+1(其中a为常数，且a≠0)的图象，上有两个点到x轴的距离为2，求a的取值范围；

(4) 点P是抛物线上一点，其横坐标为a，当a>0时，若点Q的坐标为(6a-1，-5a+1)，连结PQ，以PQ为边向上作正方形PQMN，设正方形PQMN的周长为L，当抛物线与正方形PQMN的边有两个公共点时，直接写出L的取值范围．

综合题困难

2. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围住（如图）．设绿化带的BC 边长为x m，绿化带的面积为y m² ．

(1) 求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

(2) 当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

综合题普通

3. 平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”.在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”.

如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”.

如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）.

(1) ①若m＝1，n＝4，求点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长和面积；

②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；

(2) 若点P在直线y＝﹣2x+4上.

①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；

②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；

(3) 若点P（m，n）在抛物线y＝ax²+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式.

综合题困难