如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于点F，连接BD，BC，CF，

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1. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于点F，连接BD，BC，CF， $\text{[math]}$

(1) 求证：AE是⊙O的切线；

(2) 求证：△BOD∽△EOB；

(3) 设△BOD的面积为S₁ ， △BCF的面积为S₂ ，若tan∠ODB＝ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

圆的综合题; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题困难

1. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D.

(1) 如图1，求证：AB为⊙O的切线；

(2) 如图2，AB与⊙O相切与点E，连接DE.求证：DE∥AO；

(3) 连接CE，交OA于点F.若OF ： FC=1 ： 2，求tanB的值.

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2. 如图，AB是⊙O的直径， $\text{[math]}$ ，点E为弧AC的中点，AC，BE交于点D，过点A作⊙O的切线交BE的延长线于点F， $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 求 $\text{[math]}$ 的值.

(3) 若点P为⊙O上一点，连接CP，DP，当CP与 $\text{[math]}$ 三边中的一条边平行时，求所有满足条件的AP的长.

综合题困难

3. 定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线。如图①，在四边形ABCD中，若S_△_ABC=S_△_ADC ，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线

(1) 判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×

①平行四边形是倍分四边形（）

②梯形是倍分四边形（）

(2) 如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB=3，AD=DC=5，求BC；

(3) 如图②，△ABC中BA=BC，以BC为直径的00分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形。

①求sinC；

②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E(如图③)，若OF=3，求DE．

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