我们把有一个直角，而且其中一条对角线平分一个内角的四边形叫做直分四边形.

1. 我们把有一个直角，而且其中一条对角线平分一个内角的四边形叫做直分四边形.

(1) 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，矩形 $\text{[math]}$ 的四个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别在图1和图2的边 $\text{[math]}$ 上找出不同的点E，使得四边形 $\text{[math]}$ 是一个直分四边形.

(2) 如图3，在直分四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互补，且 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的长度.

(3) 如图4，在边长为2的正方形 $\text{[math]}$ 中，点E为 $\text{[math]}$ 的中点，F为 $\text{[math]}$ 上一点，使得 $\text{[math]}$ ，点G在 $\text{[math]}$ 的延长线上，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，且 $\text{[math]}$ .

①请证明四边形 $\text{[math]}$ 为直分四边形.

②求证： $\text{[math]}$ .

【考点】

相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合）.DF交AC于点G， $\text{[math]}$ 于点H， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ .

(2) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）.

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，判断EG与AC的位置关系并说明理由.

综合题困难

2. 如图①，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中有一组内错角成两倍关系，则称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角.

(1) 如图②，在四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形.求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为倍优三角形.

(2) 如图③，已知边长为2的正方形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一动点（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连结 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为倍优三角形时，求 $\text{[math]}$ 的正切值.

(3) 如图④，四边形 $\text{[math]}$ 内接于⊙O， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是倍优三角形，且 $\text{[math]}$ 为倍优角，延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .

①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径；

②记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式.