如图，矩形OABC与⊙O交于点D，点A为⊙O上一点，AB＝3BC，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．图1 图2

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1. 如图，矩形OABC与⊙O交于点D，点A为⊙O上一点，AB＝3BC，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．

图1 图2

(1) 若E、F分别OC、AB是的一个三等分点，请在图1中作出过点D的切线；

(2) 在图2中作一个圆周角，使这个角的正切值为 $\text{[math]}$ ．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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作图题困难

1. 定义：有一组对边与一条对角线均相等的四边形为对等四边形，这条对角线又称对等线。

(1) 如图1，在四边形ABCD中，∠C=∠BDC，E为AB的中点，DE⊥AB。

求证：四边形ABCD是对等四边形。

(2) 如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的对等四边形ABCD，使BD是对等线，C，D在格点上。

(3) 如图3，在图(1)的条件下，过点E作AD的平行线交BD，BC于点F，G，连结DG，若DG⊥EG，DG=2，AB=5，求对等线BD的长。

作图题普通

2. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”；

理解：

(1) 如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；

(2) 如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；

运用：

(3) 如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”， ∠EFH＝∠HFG＝30°.连接EG，若△EFG的面积为 $\text{[math]}$ ，求FH 的长.

作图题困难