综合与实践问题情形：如图1，在矩形中，，，点F，G分别在边，上，，，点E为矩形的对称中心，连接，．易知四边形为矩形．矩形保持不动，矩形绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为．实践探究：

1. 综合与实践

问题情形：如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点F，G分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为矩形 $\text{[math]}$ 的对称中心，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．易知四边形 $\text{[math]}$ 为矩形．矩形 $\text{[math]}$ 保持不动，矩形 $\text{[math]}$ 绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ ．

实践探究：

(1) 如图2，当点E恰好在 $\text{[math]}$ 上，延长 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点H，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图3，当 $\text{[math]}$ 的延长线恰好经过点A时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 交于点M，N．则：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；

(3) 如图4，若点D在 $\text{[math]}$ 的延长线上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①此时 $\text{[math]}$ ▲ ；

②探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并加以证明；

③此时点B，F，E是否在同一条直线上？请说明理由；

④求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

【考点】

矩形的性质; 相似三角形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形 $\text{[math]}$ 为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 $\text{[math]}$ ．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在 $\text{[math]}$ 上，点B的对应点为点E，折痕为 $\text{[math]}$ ；再沿过点F的直线折叠，使点C落在 $\text{[math]}$ 上，点C的对应点为点H，折痕为 $\text{[math]}$ ；然后连结 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想 $\text{[math]}$ ．

(1) 【问题解决】

小亮对上面 $\text{[math]}$ 的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，

∴ $\text{[math]}$ ．

由折叠可知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ．

请你补全余下的证明过程．

(2) 【结论应用】

$\text{[math]}$ 的度数为度， $\text{[math]}$ 的值为；

(3) 在图①的条件下，点P在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点Q在线段 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，如图②，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．（用含a的代数式表示）

实践探究题困难

2. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1) [观察与猜想]

如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为＝；

(2) 如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

(3) [性质探究]

如图③，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．点E为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．求证： $\text{[math]}$ ；