如图，在等边△ABC中，AB＝6，D为边BC上一点，以AD为边向右构造等边△ADE，过点A作AF⊥DE于点F，并延长交BC于点G，连接CE.

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1. 如图，在等边△ABC中，AB＝6，D为边BC上一点，以AD为边向右构造等边△ADE，过点A作AF⊥DE于点F，并延长交BC于点G，连接CE.

(1) 求证：BD＝CE.

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求CE的长.

(3) 已知BD＝2， P为边AC的中点，Q为线段AG上一点，当直线PQ将△ACD的面积分成1：3两部分时，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

等边三角形的性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，连接BD，CE.

(1) 直接写出BD与CE的数量关系为，直线BD与CE所夹锐角为度；

(2) 将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转至如图2，取BC，DE的中点M，N，连接MN，试问： $\text{[math]}$ 的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，当图形旋转至B，D，E三点在一条直线上时，请画出图形，并直接写出MN的值为 .

综合题困难

2. 已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．

(1) 如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S₁ ，正方形BGFC的面积为S₂ ．

①若S₁=9，S₂=16，求S的值；

②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S₂-S₁=2S．

(2) 如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S₁ ，等边三角形CBE的面积为S₂ ．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S₂-S₁与S之间的等量关系，并说明理由．

综合题困难

3. 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E.

(1) 求证：△ABD∽△CED.

(2) 若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长.

综合题普通