如图，以为边分别作菱形和菱形（点，，共线），动点在以为直径且处于菱形内的圆弧上，连接交于点.设.

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1. 如图，以 $\text{[math]}$ 为边分别作菱形 $\text{[math]}$ 和菱形 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共线），动点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为直径且处于菱形 $\text{[math]}$ 内的圆弧上，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：无论 $\text{[math]}$ 为何值， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相互平分；并请直接写出使 $\text{[math]}$ 成立的 $\text{[math]}$ 值.

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，试给出 $\text{[math]}$ 的值，使得 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，请说明理由.

【考点】

等边三角形的判定与性质; 菱形的判定与性质; 正方形的判定与性质; 圆周角定理; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以B，F为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF．

(1) 求证：四边形ABEF是菱形；

(2) 若菱形ABEF的周长为4， $\text{[math]}$ ，则请直接写出 $\text{[math]}$ 的大小为．

综合题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，点E在线段 $\text{[math]}$ 上，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

3. 如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．

(1) 求证：△ABC是等边三角形；

(2) 若∠PAC=90°，AB=2 $\text{[math]}$ ，求PD的长．

综合题普通