抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为.

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1. 抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于原点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ .

(1) 直接写出点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 如图1，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上的动点，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 如图2， $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 关于抛物线对称轴的对称点， $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点，它的横坐标为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

【考点】

相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，已知直线y=kx与抛物线y= $\text{[math]}$ 交于点A（3，6）．

(1) 求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

(2) 点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

(3) 如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

综合题困难

2. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上.

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 如图①，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的下方，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 如图②， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，射线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

综合题困难

3. 如图，已知抛物线y=ax²+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

(1) 求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

(2) 当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；

(3) 当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

综合题困难