已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

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1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点 $\text{[math]}$ 在第一象限内，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 的周长最大时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的顶点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，在对称轴上找一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标．

【考点】

二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式; 翻折变换（折叠问题）; 三角形全等的判定-AAS; 坐标系中的两点距离公式;

【答案】

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综合题困难

1. ［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．

【探究一】确定心形叶片的形状

（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数 $\text{[math]}$ 图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

【探究二】研究心形叶片的宽度：

（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是叶片上的一对对称点， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求叶片此处的宽度 $\text{[math]}$ ；

【探究三】探究幼苗叶片的长度

（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数 $\text{[math]}$ 图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 为叶尖）与水平线的夹角为 $\text{[math]}$ ，求幼苗叶片的长度 $\text{[math]}$ ．

综合题普通

2. 如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点.

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；

综合题困难

3. 如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

(1) 求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；

(2) 一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；

(3) 若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难