如图，已知矩形中，E是上的点，F是上的一点，，且， cm．

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1. 如图，已知矩形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 上的点，F是 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ cm．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ cm，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 矩形的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，两个完全相同的矩形ABCD，BEGF按如图方式放置，AB=BE，AD=BF，将矩形BEGF绕点B按顺时针旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 操作猜想：

将四边形BEGF绕点B按顺时针方向旋转，当转到如图2所示的位置，点F恰好落在线段AD上，FG与CD交于点M，请直接写出DM和GM的数量关系为：

(2) 继续探究

如图3，矩形BEGF绕点B继续按照顺时方向旋转，FG与CD交于点M，试判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请说明理由

(3) 如图4，若 $\text{[math]}$ ，在矩形BEFG绕点B继续按顺时针方向旋转的过程中，GF的延长线与DC的延长线交于点M，试判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请说明理由

综合题普通

2. 如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．

(1) 求证：AE=CF；

(2) 若∠ABE=65°，求∠EGC的大小．

综合题普通

3. 如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若

，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且

理解与作图：

(1) 在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．

计算与猜想：

(2) 求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？

启发与证明：

(3) 如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想．

综合题普通