在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到，其中点A，B的对应点分别为点，．

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1. 在Rt $\text{[math]}$ ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将 $\text{[math]}$ ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到 $\text{[math]}$ ，其中点A，B的对应点分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 落在CA的延长线上时，

①连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

②求从初始状态到此位置时，线段AB扫过的面积．

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在直线与 $\text{[math]}$ 所在直线交于点M， $\text{[math]}$ 所在直线与 $\text{[math]}$ 交于点N，当0°＜α≤180°时，是否存在α使得 $\text{[math]}$ ＝2MN，若存在，请求出α；若不存在，请说明理由．

(3) 如图3， $\text{[math]}$ 所在直线与 $\text{[math]}$ 所在直线交于点M，K为边AB的中点，连接MK，请直接写出在旋转过程中，MK长度的取值范围．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 扇形面积的计算; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点G是 $\text{[math]}$ 中点．

(1) 如图1，若点E恰好在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．探究线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论；

(2) 如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转，若点F恰好落在射线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ ，垂足为E，交 $\text{[math]}$ 于点H，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

2. 在 $\text{[math]}$ 中与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 观察猜想

如图1，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是，位置关系是；

(2) 类比探究

当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由.

(3) 问题解决
在 $\text{[math]}$ 旋转过程中，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积的最大值与最小值.

综合题困难

3. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中，∠C＝90°，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ．延长ED分别交CB于点F，交AB于点G，连接AF．

(1) ∠CAF＝°，∠EAG＝°；

(2) 若BC＝（ $\text{[math]}$ +1）AC，则①∠DAG＝ ▲ °；② $\text{[math]}$ ＝ ▲ ，请证明你的结论；

(3) 如图2，若改变旋转角，已知AC＝3，BC＝4，当∠EAF＝90°时，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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