如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为，直线经过点、.将四边形绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q.

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1. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .将四边形 $\text{[math]}$ 绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形 $\text{[math]}$ ，此时直线 $\text{[math]}$ 、直线 $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 相交于点P、Q.

(1) 四边形 $\text{[math]}$ 的形状是，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值是；

(2) ①如图2，当四边形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 落在y轴正半轴上时，求 $\text{[math]}$ 的值；

②如图3，当四边形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 落在直线 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 在四边形 $\text{[math]}$ 旋转过程中，当 $\text{[math]}$ 时，是否存在这样的点P和点Q，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】

坐标与图形性质; 三角形的面积; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

1. 在平面直角坐标系中，点A，D的坐标分别是 $\text{[math]}$ .在y轴上取一点C，将线段 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，若点C的坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

(2) 如图2，若点A在线段 $\text{[math]}$ 上，求点C的坐标.

(3) 当 $\text{[math]}$ 取得的最小值时，求点C的坐标.

综合题普通

2. 某学习小组开展了图形旋转的探究活动：将一个矩形 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到矩形 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 延长线上．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 如图2，连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M．观察思考线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 数量关系并说明理由．

(3) 在（2）的条件下，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N（如图3），若 $\text{[math]}$ ，旋转角 $\text{[math]}$ 等于多少度时 $\text{[math]}$ 是等边三角形，请写出 $\text{[math]}$ 的值，并说明 $\text{[math]}$ 是等边三角形的理由．

综合题困难

3. 如图，在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ， AC＝BC，D为斜边AB上一动点（不与端点A，B重合），以C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接AE，BE，F为AE的中点．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 用等式表示线段CD，BE，CF三者之间数量关系，并说明理由；

(3) 若CF＝ $\text{[math]}$ ， CD＝ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难