问题：如图，在中，，， D在延长线上，于点D，过B，C，D三点的交于点F，连结， .当为等腰三角形时，求的长. 思路：小明在探索该问题时，发现，于是作于点H，然后分步求解. （1）设，用x的代数式分别表示和. （2）当为等腰三角形时，求x的值.

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1. 问题：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D在 $\text{[math]}$ 延长线上， $\text{[math]}$ 于点D，过B，C，D三点的 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长.

思路：小明在探索该问题时，发现 $\text{[math]}$ ，于是作 $\text{[math]}$ 于点H，然后分步求解.

（1）设 $\text{[math]}$ ，用x的代数式分别表示 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .

（2）当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求x的值.

(1) 请完成上述各步骤的解答.

(2)

拓展：小明发现点A关于 $\text{[math]}$ 的对称点始终落在 $\text{[math]}$ 上，于是他设计了如下问题：“当点A关于 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 恰为 $\text{[math]}$ 的中点时，求 $\text{[math]}$ 的长”，请完成该题的解答.

【考点】

等腰三角形的性质; 圆的综合题; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．

(1) 当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；

(2) 若tan∠AED＝ $\text{[math]}$ ，求AE的长；

(3) 点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，

①当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值；

②延长DF交半圆弧于点G，若弧AG＝弧EG，AG∥DE，直接写出DE的长为多少？

综合题困难

2. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝ $\text{[math]}$ ，点D为BC边上的动点（D不与点B，C重合）.以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF.

(1) 求证：△ABD∽△DCE；

(2) 当DE∥AB时（如图2），求AE的长；

(3) 点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由.

综合题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的延长线上一点， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点，并连结DE.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

综合题普通