已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接，把绕点B顺时针旋转90°到的位置，连接，．

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1. 已知如图， $\text{[math]}$ 是腰长为4的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，以A为圆心，2为半径作半圆A，交 $\text{[math]}$ 所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转90°到 $\text{[math]}$ 的位置，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 与半圆A相切时，求弧 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 直接写出 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

【考点】

三角形的面积; 弧长的计算; 旋转的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC= $\text{[math]}$ ，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A₁B₁C．

(1) 如图①，当点B₁在线段BA延长线上时．①求证：BB₁∥CA₁；②求△AB₁C的面积；

(2) 如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F₁ ，求线段EF₁长度的最大值与最小值的差．

综合题普通

2. 如图，已知Rt△ABD中，∠A＝90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E.

(1) 求证：△ABD≌△ECB；

(2) 若∠ABD＝30°，BE=3，求弧CD的长.

综合题普通

3. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），直线OP位于一、三象限，∠AOP=45°（如图1），设点A关于直线OP的对称点为B．

(1) 写出点B的坐标；

(2) 过原点O的直线l从OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转．

①如图1，当直线l顺时针旋转10°到l₁的位置时，点A关于直线l₁的对称点为C，则∠BOC的度数是，线段OC的长为；

②如图2，当直线l顺时针旋转55°到l₂的位置时，点A关于直线l₂的对称点为D，则∠BOD的度数是；

③直线l顺时针旋转n°（0＜n≤90），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径长为（用含n的代数式表示）．

综合题普通