如图，等边三角形绕点旋转到的位置，且则旋转了度．

1. 如图，将等边三角形 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，使得B，C， $\text{[math]}$ 三点在同一直线上，则 $\text{[math]}$ ．

填空题容易

2. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形，D为 $\text{[math]}$ 边上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 经旋转后到达 $\text{[math]}$ 的位置，那么旋转了°．

填空题容易

3. 若Q为等边三角形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ 绕点B旋转，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 边重合，则 $\text{[math]}$

填空题容易

1. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点E ，则线段DE长度的最小值是．

填空题普通

2. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝9，D是BC边上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为，旋转的角度为．

填空题普通

3. 如图，将 $\text{[math]}$ 的直角三角尺 $\text{[math]}$ 绕直角顶点A逆时针旋转到 $\text{[math]}$ 的位置，使B点对应点D落在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的垂直平分线；③ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 其中正确的是．

填空题普通

1. 综合与实践：

【问题情境】

活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转15°得到 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ．如图2，将等边 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转100°得到 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 所在直线的夹角 $\text{[math]}$ ．

【特例分析】

（1）如图1，若将等边 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 所在直线的夹角度数为______度；如图2，若将等边 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 所在直线的夹角度数为______度．

【类比分析】

（2）如图3，已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形，分别在边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．如图4，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所在直线互相垂直时，线段 $\text{[math]}$ 之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由．

【延伸应用】

（3）在（2）的条件下，如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所在直线互相垂直时，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内的一点，若将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转到 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A. 35° B. 40° C. 60° D. 75°

单选题普通

3. 如图，P是正三角形 $\text{[math]}$ 内的一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转后，得到 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）．

A. 120° B. 135° C. 150° D. 160°

单选题普通

1. 几何探究题

(1) 发现：在平面内，若 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

当点 $\text{[math]}$ 在线段BC上时（如图1），线段AB的长取得最小值，最小值为 ▲ ；

当点 $\text{[math]}$ 在线段BC延长线上时（如图2），线段AB的长取得最大值，最大值为 ▲ .

(2) 应用：点 $\text{[math]}$ 为线段BC外一动点，如图3，分别以AB、AC为边，作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ，连接CD、BE.

①证明： $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，则线段CD长度的最大值为 ▲ ．

(3) 拓展：如图4，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线AB外一动点，且 $\text{[math]}$ ．请直接写出线段AM长的最大值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标．

实践探究题困难

2. △ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2 $\text{[math]}$ .以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点.

(1) 如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；

(2) 如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN.当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；

(3) 连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积.

综合题困难

3. 如图，等边 $\text{[math]}$ 的边长为1，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转到 $\text{[math]}$ ，点A，C，E三点共线．

(1) 旋转角的度数 $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ ；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

1. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形，点D为BC边上一点， $\text{[math]}$ ，以点D为顶点作正方形DEFG，且 $\text{[math]}$ ，连接AE，AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为.

填空题困难

2. 如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（）

A. 240° B. 360° C. 480° D. 540°

单选题普通

3. 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l₁上．OA边与直线l₁重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O₁处，点B运动到了点B₁处；小慧又将三角形纸片AO₁B₁ ，绕点B₁按顺吋针方向旋转 120°，此时点A运动到了点A₁处，点O₁运动到了点O₂处（即顶点O经过上述两次旋转到达O₂处）．

小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l₁围成的图形面积等于扇形A00₁的面积、△AO₁B₁的面积和扇形B₁O₁O₂的面积之和．

小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l₂上，0A边与直线l₂重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₂处，小慧又将正方形纸片 AO₁C₁B₁绕顶点B₁按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：

问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l₂围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；

问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是 $\text{[math]}$ ？

解答题普通