课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

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1. 课本再现

思考

我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

可以发现并证明菱形的一个判定定理；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

(1) 定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．

已知：在 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ 是菱形．

(2) 知识应用：如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ 是菱形；

②延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

勾股定理的逆定理; 平行四边形的性质; 菱形的判定与性质; 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 三角形的中位线定理;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

(2) 求 $\text{[math]}$ 的周长

综合题普通

(1) 如图①，在▱ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F．求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点；

(2) 如图②，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，点E是CD的中点，BE⊥CD，BE、AD的延长线相交于点F，则AF＝．

(3) 如图③，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是AB上一点， $\text{[math]}$ ，BD，CE相交于点F，则 $\text{[math]}$ ＝．

综合题普通

3. 在 6×6 的方格纸中，点 A，B，C 都在格点上，按要求画图：

(1) 在图1中找一个格点D，使以点 A，B，C，D 为顶点的四边形是平行四边形．

(2) 在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB 三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

综合题普通