在四边形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直于，垂足为，且．图1 图2

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1. 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

图1 图2

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

三角形的面积; 平行四边形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 三角形的中位线定理; 四边形的综合;

【答案】

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解答题困难

1. 阅读与思考

下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．

我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”，类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．

如图，在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E，F分别是两腰 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 的延长线交于点G．

求证： $\text{[math]}$ ．

证明：∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ （依据）．

∵F为DC的中点，

∴ $\text{[math]}$ ．

在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

∵E是AB的中点，F是AG的中点，

∴EF是 $\text{[math]}$ 的中位线，

∴ $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

任务：

(1) 填空：材料中的依据是______；

(2) 如图，在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 如图，在△ABC中，D是AC边上一点，且AD=2DC，E是AB边上一点，ED与BC的延长线相交于点F，且BC=CF，G是EF的中点，连接CG，若CG=2，求AB的长．

解答题普通