如图，在菱形中，交的延长线于点，连结交于点，交于点，连结．

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1. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 若菱形 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

平行线的性质; 三角形全等及其性质; 勾股定理; 菱形的性质; 相似三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的动点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 对折，点 $\text{[math]}$ 对应点为点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图3，当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 若直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，是否存在某一位置，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的动点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 对折，点 $\text{[math]}$ 对应点为点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图3，当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 若直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，是否存在某一位置，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 由36个边长为1的小正方形组成的 $\text{[math]}$ 网格中，线段 $\text{[math]}$ 的两个端点在格点上．

(1) 如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 也在格点上，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，仅用无刻度直尺在线段 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．

解答题普通