如图，在正方形 ABCD中，E是CD的中点，F是AD的中点，BE 与CF 相交于点 P，连结 AP.设 AB=a.

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1. 如图，在正方形 ABCD中，E是CD的中点，F是AD的中点，BE 与CF 相交于点 P，连结 AP.设 AB=a.

(1) 求证：BE⊥CF.

(2) 求 AP，CP的长（用含 a 的代数式表示）.

【考点】

三角形的面积; 三角形全等及其性质; 三角形全等的判定; 勾股定理; 正方形的性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 对折至 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 求 $\text{[math]}$ 的面积；

(4) 在 $\text{[math]}$ 的条件下，直接写出 $\text{[math]}$ 周长的最小值．

解答题困难

2. 直线l过正方形 $\text{[math]}$ 顶点B，点A、C到直线l距离分别是1和2，求正方形边长．

解答题普通

3. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求出四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题普通